Trigonometría aplicada a la arquitectura

Bueno chicos, esto está llegando a su fin 😭. 

El último tema que veremos en este maravillo curso será éste (de momento). Hasta ahora hemos visto qué es la trigonometría, así como sus principales valores y su aplicación a las ciencias experimentales como vimos en la entrada anterior.

Hoy nos toca poner rumbo a la arquitectura y entre todo lo existente en ella:

1 Conocer como usaron y  se usan los conceptos trigonométricos en la construcción de obras arquitectónicas (pirámides, templos, edificios...) 

2 Entender la importancia del uso de la trigonometría en estas construcciones 🏡;

3 La gran utilidad que ha tenido la trigonometría  en la arquitectura en la actualidad.

Además, como ya sabemos, la física también juega un papel esencial en la arquitectura, por lo que se destacará algunos detalles importantes sobre ella. 

¡Manos a la obra pitagóricos!

PRINCIPIOS DE LA TRIGONOMETRÍA EN LA ARQUITECTURA

LOS BABILONIOS Y LOS EGIPCIOS fueron los primeros en utilizar las razones trigonométricas para sus construcciones (si, así como os lo cuento😯. Hace aproximadamente, más de 3.000 años), de ahí que hoy sean un punto principal de esta entrada.

Concretamente, los egipcios tuvieron en cuenta la trigonometría para la INCLINACIÓN de las CARAS de las PIRÁMIDES. Por lo tanto, uno de los grandes problemas de construcción a resolver por los egipcios, era MANTENER UNA PENDIENTE UNIFORME en las 4 caras de una pirámide. 

Esto es lo que llevó a los egipcios a utilizar el término "seqt" a lo que hoy conocemos como pendiente. 

Papiro Rhind

Nota: Esto lo sabemos por el papiro encontrado con varias anotaciones matemáticas de la época egipcia, conocido como EL PAPIRO RHIND. Presenta 87 problemas con sus respectivas soluciones. 
Entre los existentes, encontramos el problema 56 que corresponde a la resolución de un problema sobre una pirámide en el que se pide la Seqt  (pendiente) resuelta por Ahmes. Según esos tiempos, se resolvió: 

- 1/2 de 360 que da 180.

- Multiplica 250 hasta obtener 180, obteniendo 1/2 + 1/5 +1/5 

Un cubit son 7 palmos (medida utilizada horizontalmente). Multiplica ahora 7 por 1/2+1/5+1/5 dando 5+1/25. 

Por lo tanto el seqt es 5+1/25 palmos por codo

Vamos a resolver ese problema en términos actuales 😎
como ya sabemos, la trigonometría siguió avanzando, descubriendo así nuevas formas de resolver lo que en este papiro se presenta. Sabiendo esto, pongamos en práctica lo que ya sabemos.

El problema lo que plantea es obtener el SEQT, es decir, lo que consideramos hoy como la PENDIENTE de una superficie plana inclinada. Para su resolución, plantea que la pirámide tiene 250 CUBITS (para que lo sepáis, son al rededor de unos 114.3 metros ) de altura y 360 CUBITS (164,592 metros)  de base.

(los cubits o"codo" eran las unidades de medida en el antiguo egipto).

¿Cuál será el valor de la pendiente de ésta pirámide, según se plantea en el Papiro de Rhind para que TODAS LAS CARAS DE LA PIRÁMIDE tuvieran la MISMA PENDIENTE y por tanto la PERFECCIÓN ARQUITECTÓNICA buscada?.  

Representación egipcia de lo que se pide medida en cubits.

Para facilitar la resolución del problema con la respectiva fórmula que nosotros utilizamos hoy en día, os aconsejo dejar la unidad de medida en cubits y no pasarla a metros aún hasta que tengamos el resultado final, ¿vale chicos?

Representación gráfica del triángulo rectángulo de la pirámide en CUBITS.
(el cateto adyacente será 180 puesto que solo necesitamos la mitad de toda la base que mide 360)

Además de esto, el ejercicio no nos proporciona la medida del ángulo α, por lo cual, de igual manera y para hallar solo aquello que hemos dado en clase, he obtenido el valor de α calculando el arco tangente.  

tgα= 250/180= 
α= arctg 250/180= 
α arctg 25/18 = 54,246º

El ángulo que desconocíamos hasta el momento será de 54,246º.👀👉

Nota: Para calcular el arcotangente, hemos pasado la tangente a arcotangente a través del =. A partir de ahí, se ha operado con los catetos que ya teníamos.

¡Ya casi lo tenemos! Ahora, solo tenemos que calcular el coseno de α. Para ello, vamos a tener en 

cuenta la fórmula, y... ¡a despejar! :

Fórmula que ya conocíamos

Fórmula aplicada al ejercicio

Cos 54,246= 180/ x

Cos 54,296º x = 180

x= 180/ cos 54,296º = 308 cubits

¡Bien chicos!, ya tenemos que la pendiente son de 308 cubits de altura... pero es raro que hoy en día hablemos de esa unidad de medida, ¿ no?

Como os había comentado, ahora lo pasaremos de CUBITS a METROS, para que así todo sea un poco más razonable. Para ello.. ya sabéis, ¡REGLA DE TRES! (Aunque tambien podemos usar la reducción a la unidad...):

Cubits                               Metros

                                                          1        ---------------------    0.46

                                                        308      ----------------------     x

308 × 0,46 / 1= 141,68 metros

¡Por fin lo tenemos!
 El resultado por tanto será que: la PENDIENTE de esta pirámide es de 141,68 metros. Esta pendiente, por tanto, fue la que se utilizó idénticamente en cada una de sus caras.

 Para lograr esto, debemos dar las gracias a la TRIGONOMETRÍA.

Tras las pirámides, consideradas unas de las obras arquitectónicas más perfectas , la trigonometría se siguió utilizando en las diferentes épocas y culturas (aunque no como la conocemos hoy...), creando obras magníficas como los templos en la Antigua Grecia, mezquítas o iglesias,  hasta llegar a nuestros días.

Llegados a este punto, veremos las estrategias seguidas por algunos arquitectos actuales para construir edificios o estructuras más seguras y precisas.

Para ello, hoy en día utilizan las FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS, ya que permiten al arquitecto calcular las distancias y las fuerzas relacionadas con elementos de la diagonal.

En los siguientes ejemplos podremos observar como las FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS  que menciono, son pasadas al PLANO CARTESIANO. Al hacer coincidir la estructura con la representación gráfica de una función, veremos que tipo se ha utilizado:

Teatro popular en Nitrôi

Según se puede observar en esta imagen, esta estructura se ha construido a partir de una FUNCIÓN DE SENO ya que la construcción  pasa por el eje cartesiano.

Siguiendo la misma táctica,  el Brigde of peace se encuentra edificada a partir de una FUNCIÓN DE COSENO. Traslada al plano cartesiano, observamos como el principio de la infraestructura pasa por el punto (0,1) del plano por lo que como ya se ha destacado, estaríamos frente una función de coseno.

Bridge of peace a partir de una Función de coseno

¡Qué diferencia de estrategias de construcción se ha  llevado a cabo a lo largo de la historia! Además, como hemos visto, la trigonometría juega un papel muy importante en ellas...

Por un lado la pirámides, aparentemente construcciones simples y toscas, pero que tras ellas, se esconden grandes enigmas matemáticos y trigonométricos como hemos visto y hecho hoy 👀✌.
Por otro lado, las grandes y complejas infraestructuras que se levantan hoy en día sobre nuestro suelo. Construcciones que como ya sabemos, se fundamentan en los tres elementos básicos de la trigonometría: SENO, COSENO Y TANGENTE. Tanto es así, que muchas de ellas son la mera representación funcional en un eje cartesiano. 😨😨

En estas últimas palabras, no debemos dejar a un lado la FÍSICA puesto que no solo la estabilidad de las construcciones se deben a la fuerza y a los complejos sistemas sino también al MATERIAL con el que se han edificado 👅.
Esta parte es tan importante como la otra, puesto que la dureza, la estabilidad, u otros aspectos son los que hacen que las obras arquitectónicas se soporten sobre el suelo

nota: las pirámides o los templos griegos hoy en día permanecen casi en su totalidad por el material, tan resistente, utilizado para él.

En la actualidad, la física en la arquitectura juega un papel decisivo, ya que cada vez se va innovando más en diseño (solo hay que ver el Bridge of pease o el Teatro de Nitrô) y para ello, hay que saber qué materiales son los adecuados para que esas estructuras sean seguras y duraderas.

Torre de Cristal (Madrid)

Por ejemplo: últimamente se está utilizando mucho el vidrio para las nuevas estructuras. Principalmente, esto se debe a que el vidrio contiene grandes propiedades energéticas (que se convierten un punto fuerte de ahorro) y por la resistencia que ofrece por la posición en la que se utiliza para la construcción (facilitan el trabajo a muchos arquitectos)

 Quién le diría a los egipcios que llegaríamos a esto...😂

¡Mirad ! 👀👉

BUENO π-TAGÓRICOS, YA HEMOS APRENDIDO UN POCO MÁS SOBRE LA TRIGONIOMETRÍA Y SU USO, EN ESTE CASO, EN LA ARQUITECTURA.

Espero que os haya gustado y que hayáis aprendido con esta y con todas las entradas del blog, yo desde luego sí 💃😜.

Ahora, solo queda las pruebas de evaluación, que si toda va tan bien como ahora, triunfaréis.

¡ÁNIMO! y nos vemos pronto.. 😉🙋

FUENTES CONSULTADAS: 

https://trigonometriaegipcia.wordpress.com/

https://prezi.com/kt91yltu9h_i/usos-de-la-trigonometria-en-la-arquitectura-desde-su-inicio/

https://prezi.com/dzthnzt6yrkx/como-usar-la-trigonometria-en-la-arquitectura/

http://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/papiro_rhind.htm

https://prezi.com/ofugwij9q1yf/arquitectura-y-la-fisica/