PROYECTO DE INVESTIGACIÓN. ¿QUÉ ES LA TRIGONOMETRÍA?

¡Buenas tardes chic@s! 😉😉

Como os he contado hoy en clase, nuestras cuatro profesoras del departamento de Matemáticas de nuestro colegio van a participar en un proyecto de investigación llamado " Conceptos de trigonometría esenciales para un maestro en formación: aplicación en Ciencias experimentales"con el fin de explicar la trigonometría, sus principales usos y aplicaciones tanto en las ciencias como en un aula de primaria.
Las investigaciones irán siendo publicadas en este blog para que a parte de que sean vistas por los futuros profesores, vosotros como alumnos las echéis un ojo si estáis interesados, ya que habrá algunas de las entradas que estén relacionadas con el temario que estáis dando en otras materias y nunca está de más conocer un poquito más acerca de lo que ya sabemos sobre las matemáticas, ¿verdad?

¡Pues empecemos! 💪💪

Lo primero que debemos saber a la hora de trabajar con este ámbito de las matemáticas es  saber de donde proviene la palabra en cuestión, trigonometría. Esta extraña palabra, como muchos habéis dicho hoy en clase, proviene del griego y es una composición de tres palabras: “trigonom” que significa triángulo, “metron” que significa medida y, por último, de “tria” que significa tres. Por lo que atendiendo a su significado literal la trigonometría estudia la medida de los triángulos.

La trigonometría es una rama de las matemáticas la cual estudia la relación existente entre los ángulos y los lados de los triángulos. Esta rama se utiliza para áreas donde se requiere de una precisión. 

Las funciones trigonométricas se aplican a los triángulos rectángulos (aquellos que tienen un ángulo recto) y hay que saber que es la hipotenusa, el cateto opuesto y el cateto adyacente. Por lo que vamos a repasar que es esto:

La hipotenusa es el lado más largo del triángulo, y los catetos depende de que ángulo agudo escojamos como referencia, el cateto que se encuentre en el lado contrario al ángulo escogido se llamará cateto opuesto y el que este junto al ángulo se llamará cateto adyacente.

Por un lado, tenemos las razones trigonométricas, donde otra vez habéis vuelto a decir que los nombres son muy raros, que son:

• ·       Seno, cuya anotación matemática es sin y consiste en calcular la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
• ·       Coseno, cuya anotación matemática es cos y consiste en calcular la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
• ·       Tangente, cuya anotación matemática es tan y consiste en calcular la razón entre los dos catetos, el opuesto y el adyacente.

Por otro lado, tenemos las razones trigonométricas recíprocas, las cuales son:

• ·       Cosecante, cuya anotación matemática es csc y consiste en la razón recíproca del seno.
• ·       Secante, cuya anotación matemática es sec y consiste en la razón recíproca del coseno.
• ·       Cotangente, cuya anotación científica es cot y consiste en la razón recíproca de la tangente.
• 
  

Ahora, os estaréis preguntando a qué me refiero con la razón recíproca ¿no? 😮 Pues es tan sencillo como voltear la razón, es decir, si en el seno tenemos la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, la cosecante será la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

Veamos está teoría en el siguiente ejercicio. Hallar las razones trigonométricas y las razones trigonométricas recíprocas del ángulo B del siguiente triángulo:

¡Precaución! ¡Problemas a la vista!

¡Buenas tardes chic@s!  😀😀

Como ya queda poquito para la prueba de evaluación (ESTUDIAAAD POR FAVOR) quiero hacer una entrada con posibles problemas a la hora de trabajar los ejes para que no los cometáis en el examen. Poned mucha atención y sobre todo repasad con muchos ejercicios para que en la prueba de evaluación no tengáis ningún tipo de duda y para que no os quedéis sin tiempo .

¡COMENCEMOS!

    1 Uno de los fallos más cometidos en los ejercicios es cuando se os da una gráfica y tenéis que nombrar un punto. Recordad que el eje horizontal, llamado eje de abscisas, es el primer valor del punto y el eje vertical, llamado eje de ordenadas, es el segundo valor del punto (3,2).

2 Otra cosa que suelo observar en la que caéis mucho es al realizar lo contrario del caso anterior: cuando os dan un determinado punto y lo tenéis que representar en la gráfica, muchos de vosotros lo que hacéis es darle la vuelta al punto que tenéis que representar, es decir, si os piden representar el punto (1,2),  el punto que ponéis en la gráfica es (2,1). Por ejemplo:

Representa en el gráfico el punto A (3,4)

Como podéis observar en la primera imagen el punto está mal representado ya que corresponde al punto (4,3). En cambio, en la segunda imagen el punto está bien representado debido a que en el eje de abscisas se ha recorrido tres puntos hacia la derecha y luego ha recorrido cuatro puntos hacia arriba correspondiendo al eje de ordenadas.

3 Otro posible problema que se os puede presentar, se encuentra en los gráficos discontinuos, ¡cuidado 👂!
Mediante un ejemplo veremos los posibles puntos donde podéis tener dificultades.

Una asociación quiere comprar camisetas con su logotipo, pero solo pueden comprar camisetas de cinco en cinco. El precio variará según el nº de camisetas que se compren y está reflejado en la siguiente tabla:

Una de las preguntas que os pueden realizar para ver si estáis atentos al problema planteado es preguntaros cuánto pagarán por 6 camisetas. La respuesta a esta pregunta es que no se pueden comprar 6 camisetas ya que solo se pueden comprar de cinco en cinco.
Relacionado con esto, también se os puede preguntar el porqué no se unen los puntos del gráfico y la respuesta correspondiente a esto es que el gráfico no es constante y porque los datos que deben ir en el eje de abscisas tienen que ser múltiplos de cinco y por tanto, como no hay números intermedios no se pueden unir.
4 Finalmente, también observo que cuando os dan una gráfica y se os presenta una serie de funciones para identificar que función corresponde a cada gráfica, no lo tenéis muy claro. 
A continuación os voy a dar una serie de consejos para que podáis realizar este tipo de ejercicios con más rapidez.

En el caso que tengáis una función parecida, lo primero que debéis hacer es observar las opciones que os dan y en el caso de que tengáis funciones cuadráticas, como por ejemplo x^2+5, las deberéis descartar ya que el gráfico de estas son parábolas.

 A continuación, deberéis realizar una tabulación con diferentes valores para obtener la función correcta. Como consejo, os digo que lo mejor es comenzar con el valor 0 y después hacerlo con valores significantes en los que sea fácil su identificación.      

                                                                                                                                          

En este caso, deberéis descartar todas las opciones ya que si existe algún trazo vertical que corte en dos puntos diferentes como en el ejemplo, no se tratará de una función.

Representación gráfica de una función

¡Muy buenas tardes π-itagóricos!

Os traigo una sorpresa bastante interesante relacionada con este... ¡super tema! como os he anticipado hoy en clase 👏🙆.

Como ya sabéis, estos días le estamos dando vueltas a las funciones (identificando el tipo; cuáles son, cuáles no... ¡nos tienen ya locos 😪!) y sus diferentes formas de representación.

Pues chic@s, hoy en nuestro blog veremos al detalle... ¡la REPRESENTACIÓN GRÁFICA! Para ello... ¿sabéis que? he elaborado una gráfica sobre el TIEMPO y la DISTANCIA que recorrimos con el autocar en la excursión del lunes 9 de abril al Parque del Buen Retiro en Madrid. Os acordáis, ¿no?💃💃💃 ¡Ole qué ole!

Con esta gráfica nos resultará mas fácil comprender y representar los datos que vienen expuestos porque... ¡ya lo hemos vivido en primera persona! 😎

Creo que la explicación que voy a hacer a continuación, os ayudará a interpretar las que veremos posteriormente en clase y también de cara a la prueba de evaluación.

¡Vamos allá!

ANÁLISIS: GRÁFICA DE EXCURSIÓN AL RETIRO

Aquí podéis observar la función gráfica según el trayecto que hicimos con el autocar hasta el Retiro y sus correspondientes paradas. 

Debemos pensar en el recorrido que el hizo el autobús, y no ¡el nuestro sin él!

1 DESCRIPCIÓN DE EJES

En primer lugar, debemos fijarnos en los ejes ¿qué representa cada uno? ¿en qué escala se encuentra cada uno?

En esta gráfica vemos que el EJE DE ORDENADAS (y) representa la DISTANCIA recorrida en KILÓMETROS. A parte de esto, podemos observar que la distancia representada en el gráfico  encuentra dividida de 5 KILÓMETROS en 5 KILÓMETROS.

Por otro lado, vemos que en el EJE DE ABSCISAS (x) se encuentra el TIEMPO transcurrido representado en HORAS. En este caso, la división del tiempo en el eje transcurre de HORA en HORA.

EN ESE CASO, por tanto, VEREMOS QUE LA RELACIÓN DE LOS PUNTOS SERÁ:

 EL TIEMPO TRANSCURRIDO - DISTANCIA RECORRIDA.

Ahora comenzaremos a interpretar los datos contenidos en la gráfica:

2 DURACIÓN DE LA EXCURSIÓN

Para poder señalar cuánto tiempo ha durado la excursión, debemos fijarnos en el eje de abscisas y comprobar que en total, la excursión ha durado 9 HORAS. Estas nueve horas se cuentan desde que hemos salido del colegio  en autocar a las 9:00  (gráficamente esto representa el punto 0,0) hasta nuevamente llegar al colegio a las 18:05 tras la excursión (punto 9,0). 

3 DIVISIÓN y ANÁLISIS COMPLETO DEL TIEMPO

En el transcurso de esas 9 horas de excursión ocurrieron varias cosas, como podemos apreciar (y recordar jeje 😄). Veamos cuáles son:

En primer lugar, sabemos que el viaje hasta el Parque del Buen Retiro partiendo desde nuestro colegio, fue de 23 KILÓMETROS y tardamos 1 HORA DE TRAYECTO (¡acordaros que tráfico hubo de por medio en la carretera!). Esto lo sabemos porque el trayecto del trazo es ascendente, avanzando en el tiempo de las abscisas (marcando el tiempo total de 1 hora) hasta llegar, a su vez, a un punto en concreto en el eje de ordenadas (marcando 23 km). 👀👇

Trayecto ascendente hasta un punto

Una vez que llegamos a nuestro destino, almorzamos a las 10:00 y nos pusimos manos a la obra con la tarea de orientación en el parque, que nos llevó bastante tiempo. Durante este tiempo, nuestro autocar estuvo esperando, por lo que no avanzó en distancia pero si en tiempo, concretamente 5 horas ¿cómo sabemos esto? si os fijáis, el trayecto en este caso es horizontal y lineal marcando el mismo punto en el eje de ordenadas. Sin embargo,  en el eje de abscisas hay varios puntos (por lo tanto el tiempo ha seguido transcurriendo a pesar de no avanzar en distancia. Esto indica que está PARADO).

Tiempo de espera del autocar durante la actividad (5 horas )

Tras la actividad, volvimos a coger el autobús para ir a comer a un establecimiento. Para ello, el autobús recorrió 5 KILÓMETROS *

                                                                *Nota: para obtener el calculo de los 5 km debéis contar los cuadrados que se   encuentran entre los kilómetros señalados. Cada cuadrado representará por tanto 1 kilómetro.

 tardando 12 MINUTOS* según muestra la gráfica.

                                                                      *Nota: al igual que en la anterior operación, deberemos saber cuánto equivale cada cuadrado. En este caso debemos dividir 60 minutos que tiene una hora entre 5 cuadrados, dando 12 minutos. 

. Vamos a echarle un ojo:

Trayecto para ir a comer (12 minutos en 5 km)

Nuevamente hicimos esperar al autocar, ya que tuvimos que comer. En este caso, la espera fue de 1 HORA Y 48 MINUTOS (sabiendo que tenemos que restar esos 12 minutos que tardamos en ir desde el parque hasta el establecimiento).

Tiempo de espera de la comida (1hora y 48 min)

Una vez que terminamos de comer, volvimos a ponernos en marcha, y en este caso, para volver al colegio. En este caso por tanto, debemos tener en cuenta que el tiempo empleado para volver a casa fue de 1 HORA Y 5 MINUTOS ¿Qué ocurrió?, bueno como ya sabéis, una de vuestras compañeras de clase se mareó un poco y tuvimos que hacer una parada de 5 MINUTOS (como ya sabemos, si un cuadrado de la gráfica equivale a 12 minutos, proporcionalmente ese trazo representa 5 minutos), aquí la podéis ver:

Tiempo de espera por urgencia en el viaje (5 minutos)

Por esta razón, llegamos al colegio 5 minutos más tarde de lo previsto.


Bueno chicos, creo que se puede decir más alto pero no mas claro.. ¡Vaya charla os he metido hoy 😬!, ¿verdad? pero lo importante es que os haya quedado claro. Veréis que una vez controléis esto, sabréis utilizar cualquier representación de las que ya hemos visto en clase (tabular, verbal...). ENTENDER y SABER REPRESENTAR UNA GRÁFICA, es fundamental para poder responder a las preguntas que se haga sobre ella 💭.

Espero que os haya servido esta "mini explicación" y que el hecho de ser algo que habéis vivido, os haya ayudado mucho más a su comprensión.

Para el próximo día me gustaría que pensarais la respuestas de las siguientes preguntas:

- ¿Cuánto tiempo en total estuvo el autocar parado?

 y 

¿en movimiento?

Observar bien la gráfica para no equivocaros 🙏👀 . El lunes lo comentamos.

¡QUE PASÉIS TODOS UN BUEN FIN DE SEMANA!

Tipos de representaciones

¡Hola chicos!

Hoy nos toca conocer un poco más sobre este tema. En esta ocasión aprenderemos los diferentes tipos de representaciones de funciones que existen: tabular, gráfica, verbal y simbólica.

¿Por qué es importante conocer las diferentes formas de representación? 

Conocer los diferentes tipos de representaciones de funciones que existen  nos ayuda a entender mejor el concepto de función, de sus usos, sus características. En resumen, nos facilita la comprensión de las funciones.

A continuación veremos detenidamente cada uno de los tipos de representación que hemos aprendido en clase (recordad que la representación simbólica no la llevaremos a cabo hasta cursos más superiores, pero nunca está de más conocer que hay otro estilo más de representación 👍) y veremos ejemplos para que las entendáis mejor.

❕Un dato muy importante sobre los sistemas de representación es que no hay que entenderlos solo de manera aislada, es decir, están relacionados entre ellos. Esto quiere decir que podemos, por ejemplo, pasar del sistema de tabulación al sistema gráfico o verbal y viceversa.

¿Estáis preparados?💁

REPRESENTACIÓN TABULAR

Como bien dice la palabra, los datos de la función se representan en una tabla. 

Esta tabla puede estar dispuesta en forma de columnas:

O en forma de filas:

En ambos casos, en una de las columnas o las filas tendremos un valor del eje x (abcisas) que se corresponderá con un valor del eje y (ordenadas) situado en la otra fila o columna.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

¿Os acordáis del sistema de coordenadas cartesianas? Pues esta forma de representación se realiza de la misma forma. Tendremos unos datos, los cuales nos indicarán si pertenecen al eje x o al eje y, y nosotros debemos de representarlos de la misma forma en la que lo hacíamos como por ejemplo, al juego hundir la flota. 

De ahí la importancia de tener siempre presente (x , y) tal y como os dije

REPRESENTACIÓN VERBAL

En este tipo de representación no tendremos que construir o analizar una tabla, ni tampoco tendremos que representar unas coordenadas. En esta ocasión tendremos que describir con palabras la función de la manera más detallada posible, de tal modo que cualquier otra persona sea capaz de entender cómo es la función a la que nos referimos. 

Es muy importante describir con todo detalle todos sus elementos: cómo es esa función, cómo son sus ejes, cómo son sus puntos, unidades (horas, metros, kilómetros, minutos...) etc. para la total comprensión de la función.

En el eje de abcisas se representa en tiempo en horas que tarda un coche en recorrer una determinada distancia. En el eje de ordenadas se representa la distancia en km. En una hora, el vehículo ha recorrido 60 km, en dos horas, el coche ha recorrido 120 km; en 2,5 horas el coche ha recorrido 150 km; en 3h el coche ha recorrido la distancia de 180 km y por último, en 3,5 horas se aprecia que el coche ha recorrido 210 km. Con esto podemos observar que el coche lleva una velocidad constante de 60 km/h (kilómetros por hora)

Los tres tipos que hemos visto, son maneras diferentes de representar los mismos datos, y sus relaciones son iguales, sin variar en función del tipo de representación al que acudamos.

¡Nos vemos en clase chicos 😍!

¡FUNCIONES!

Aquí estamos de nuevo con un tema más.

Venga que ya es la recta final y... ¡nos quedan muy pocos contenidos por dar! 🙆

Este tema corresponde a las FUNCIONES. 

Esta mañana os habéis quedado un poco sorprendidos por la presentación que le he dado al tema ya que con la primera frase no se entiende muy bien, ¿a que no? Os recuerdo cual era...

 "una función es una relación entre un conjunto dado X y otro conjunto de elementos Y" 

Es completamente normal que no hayáis enterado de nada con esto que os acabo de decir, pero para eso estoy yo. Os lo explicaré de otra manera que seguro que os gustará más y será más productiva 😏

Una función consiste en relacionar dos elementos diferentes pero que aún así mantienen un vínculo porque son necesarios el uno para el otro como por ejemplo... Una mariposa y una flor. A menudo, vemos que las mariposas, así como otros insectos suelen estar en plantas ¿verdad? Bueno, pues lo que yo quiero es que lo relacionemos entre sí.

Este ejemplo es uno de todos los que os podáis imaginar. En clase me habéis dicho muchos otros como pueden ser un coche y gasolina, un perro y su pienso, una piscina y el agua ....

Al darme estos ejemplos he visto que lo habéis entendido bastante bien, así que serán los que utilice en la explicación ¿vale?

Una función por lo tanto, será la relación que hagamos entre todos los elementos que hasta aquí os he nombrado. La mitad de ellos estarán metidos en una bolsa marrón, mientras que la otra mitad se encontrará en una amarilla. Por lo tanto, para poder hacer nuestra función tendremos que relacionarlos desde las bolsas poniendo flechas.

El resultado tendrá una forma parecida a esta:

¿Lo entendéis? Es sencillo, la piscina necesita el agua para poder llenarse. Cuando papá o mamá coge el coche, necesita ir a la gasolinera para rellenar el depósito con gasolina y así ir de vacaciones 🌊 o ir a comprar etc...

¿Tenéis perro? si es así, estoy segura de que en casa le ponéis de comer porque sino puede pasar mucha hambre, es decir, lo necesita. Y finalmente una mariposa también necesita posarse sobre una flor.

Pero... ¡ATENTOS! ¿Un coche necesita una flor? No, ¿verdad? Tampoco una mariposa necesita gasolina... Así que, no podemos relacionar el coche con la gasolina y ADEMÁS con una flor. SÓLO podemos relacionar un elemento del saco marrón ( o casi verde) con 1 SOLA cosa del saco amarillo. 
Para que lo podáis ver, este ejemplo NO SERÍA FUNCIÓN

Pero claro... os preguntaréis ¿ Y si tengo un camión y un coche en el marrón? Los dos necesitan gasolina... ¡EN ESE CASO SÍ CHICOS! Porque son dos cosas diferentes del saco marrón que sí podemos unirlas a un mismo elemento del amarillo.
Conclusión:  Dos elementos del saco marrón PODEMOS relacionarlos con el mismo elemento del amarillo.

De esta última forma, tendríamos unas relaciones parecidas a estas:

Bien, ahora que ya sabemos que una función consiste en relacionar los elementos de un saco con otro PERO con la CONDICIÓN de que del marrón no salgan dos flechas. Vamos a ver qué TIPOS DE FUNCIONES podemos encontrarnos.

Inyectivas

En este caso, relacionamos una sola cosa del saco marrón con una sola cosa también, del saco amarillo. Comúnmente lo podemos llamar 1 para 1.

Con la siguiente imagen estoy segura de que entenderéis qué es una función inyectiva y cuál no.

Suprayectiva

La clave de este tipo de funciones es que no quede ningún elemento en el saco amarillo sin relacionar.
Da igual la cantidad de elementos que haya en el amarillo mientras que ninguno se quede suelto sin saber con quién va 😢.

Biyectiva

Hasta aquí, nos hemos enterado de todo ¿verdad? Si no es así volved para arriba y echarle un vistazo 👀 a lo anterior que es muy importante para ahora poder ver las últimas. 

Ahora si que llegamos al final de las funciones 🙌 . Os he comentado lo anterior porque las biyectivas son... ¡La función inyectiva y la suprayectiva juntas! 

En el momento en el que la función ya no es inyectiva o no es suprayectiva, ya no podemos hablar de que es una función biyectiva. ¿Me he explicado bien? Si tenéis alguna duda ya sabéis que mañana estaremos en clase con este tema, así que no dudéis en preguntarme.

Como en los ejemplos anteriores, aquí os dejo una imagen que os ayudará a diferenciar si os habéis encontrado con una función biyectiva o no 😉.

La segunda imagen no es biyectiva porque si comprobáis es cierto que sí es inyectiva ya que como máximo hay relaciones de 1 a 1 , en ningún momento algún elemento tiene 2 relaciones. PERO no es suprayectiva porque chicos... ¡hay un balón de fútbol! Ese no mantiene relación con nada del saco marrón, así que sintiéndolo mucho tenemos que dejarle solo 😔.

¡Y esto es todo! Leeros bien toda esta entrada para que mañana podamos resolver todas las dudas y hacer los ejercicios como unos buenos  π-tagóricos💪. ¡Nos vemos mañana!