Aplicación de la trigonometría en el aula

¡PRESTAD ATENCIÓN A LO SIGUIENTE π-TAGÓRICOS!
Esta entrada es publicada a modo de información para el departamento de matemáticas. Al ser la directora de él debo publicarla con el objetivo de que mis compañeros, junto con las entradas anteriores, se introduzcan en la trigonometría y así sepan cómo aplicarla en el aula para enseñárosla a vosotros. Por lo tanto, no será contenido del curso para vosotros. Aún así, si alguno siente la curiosidad de cómo puede estudiar la trigonometría en clase puede echarle un vistazo a esta información y la anterior, ¿de acuerdo?

TRIGONOMETRÍA EN EL AULA

Buenos días compañeros. Como habéis podido leer en el encabezado de la entrada, hoy os voy a explicar qué debéis saber acerca de la trigonometría para poder impartir una clase inicial y además os presentaré algunos ejercicios matemáticos que podéis llevar a cabo con vuestros alumnos.

En primer lugar, soy consciente de que ojeáis el blog, por lo que la entrada llamada ¿qué es la trigonometría? la habéis podido observar. Por lo tanto, no partiré de 0 sino que la continuaré.
En ella pudisteis ver las razones trigonométricas, son MUY importantes porque con ellas se resuelven los posibles ejercicios de clase.
Os las presento aquí para que las podáis tener a mano junto con toda esta información.

Estas "fórmulas trigonométricas" son más que necesarias que las comprendáis e interioricéis. 

Podéis aplicar perfectamente todas ellas a la realidad. De hecho, os aconsejo que lo hagáis porque es la mejor forma de que los alumnos lo entiendan. Si ellos no ven el sentido a aplicarlas no las van a interiorizar ya que lo ven absurdo. Por ello es necesario que sean conscientes de que sirven para resolver una incógnita real.

También debéis recordar que la trigonometría se aplica a un vértice, es decir es necesario partir de un vértice. De él se calculan sus razones trigonométricas ( seno, coseno y tangente). Pero es posible que con la trigonometría recordéis el Teorema de Pitágoras ya que se encuentran relacionados, de hecho aquí os dejo un ejercicio

Os pongo un ejemplo con dos apartados de cómo podéis encontrarlo relacionado:

En este ejercicio se relacionan porque es necesario saber la medida de los lados desconocidos para después poder aplicar las razones trigonométricas.

Este ejercicio es cierto que no esta aplicado a la vida real, sin embargo considero que es muy bueno para que veáis cuando aplicamos Pitágoras y cuando trigonometría. El primero lo haremos cuando necesitemos calcular la medida de un cateto o de una hipotenusa y el último y protagonista de esta entrada, cuando queramos calcular las razones de un ángulo perteneciente a un triángulo rectángulo. ¿Hasta aquí bien?

Ahora pasaremos a aplicarlo en el aula.
Podemos imaginar múltiples ejercicios para realizar con nuestros alumnos ya que la trigonometría puede ser utilizada en una gran cantidad de ámbitos como habéis visto en las entradas anteriores. Así como en astronomía pudiendo medir distancias a estrellas. Además nos permite medir distancias entre puntos geográficos ( aquí podemos incluir puntos que nuestros alumnos suelen frecuentar ) y de esta manera no será necesario salir a la calle con un metro a ver cuál es la distancia entre la panadería y mi edificio por ejemplo.
Con esto, vamos a realizar un posible ejercicio que cualquiera de nosotros en el claustro debería saber resolver y explicar a los demás.

POSIBLE EJERCICIO EN AULA 

El enunciado del ejercicio es el siguiente:

Cuando llegan las 8 de la mañana y el sol se coloca detrás del edificio en el que vive Juana, hace que éste proyecte una sombra de 150 metros formando así un ángulo de 40º entre el último piso del edificio y el suelo.


El primer paso que SIEMPRE debemos realizar es representar el enunciado de forma visual:

Ahora es cuando debemos ser conscientes de que debemos utilizar las razones trigonométricas ya que Pitagoras no podemos porque no tenemos los datos suficientes. Tenemos un ángulo y un cateto, por lo que la única forma de hallar la altura del edificio es utilizar las fórmulas trigonométricas.
El siguiente paso es identificar que lado es el continúo al ángulo de 40º, cuál es el opuesto y cuál la hipotenusa:

Teniendo ya los conceptos claros de dónde se sitúan los diferentes elementos deberemos recordar qué razón trigonométrica de las 3 que hemos visto necesitamos para calcular el lado opuesto. Debemos ser conscientes de que tenemos como datos que el ángulo es de 40 º y tenemos el cateto adyacente. Por lo tanto debemos utilizar una razón en la cuál ya estén el cateto puesto y el contiguo, porque de esa forma al sustituir, únicamente nos quedaría como incógnita el cateto opuesto.
Para esta parte del problema debéis responder como profesores de matemáticas que sois, a la pregunta: ¿CUÁL ES LA RAZÓN TRIGONOMÉTRICA QUE NECESITAMOS?

La respuesta es la siguiente:

Por lo tanto, el último paso será sustituir en la determinada fórmula por los datos que ya tenemos en el enunciado. Sed conscientes de que nuestro ángulo es de 40º por lo que LA TANGENTE SERÁ DE 40º.

La solución por lo tanto sería 125,9 metros.

Y esto de momento es todo lo que os exijo para iniciaros en la trigonometría con vuestros alumnos. Esta vez vais a ser como mis pequeños alumnos y os voy a mandar una tarea. Quiero que para el próximo jueves que será cuando tengamos la próxima reunión de departamento, traigáis cada uno 2 ejercicios a resolver con trigonometría planteados por vosotros mismos. Tened en cuenta que deben ser ejercicios que podáis hacer en clase con los chicos ¿de acuerdo? 

Si tenéis alguna duda ya sabéis que a las 14:10 estoy en la clase de 5º B prácticamente todos los días 🙇 .

Un saludo compañeros, espero que esta entrada junto con las anteriores de investigación hayan tenido su fruto.¡ Nos vemos por los pasillos!❤

Trigonometría aplicada a la arquitectura

Bueno chicos, esto está llegando a su fin 😭. 

El último tema que veremos en este maravillo curso será éste (de momento). Hasta ahora hemos visto qué es la trigonometría, así como sus principales valores y su aplicación a las ciencias experimentales como vimos en la entrada anterior.

Hoy nos toca poner rumbo a la arquitectura y entre todo lo existente en ella:

1 Conocer como usaron y  se usan los conceptos trigonométricos en la construcción de obras arquitectónicas (pirámides, templos, edificios...) 

2 Entender la importancia del uso de la trigonometría en estas construcciones 🏡;

3 La gran utilidad que ha tenido la trigonometría  en la arquitectura en la actualidad.

Además, como ya sabemos, la física también juega un papel esencial en la arquitectura, por lo que se destacará algunos detalles importantes sobre ella. 

¡Manos a la obra pitagóricos!

PRINCIPIOS DE LA TRIGONOMETRÍA EN LA ARQUITECTURA

LOS BABILONIOS Y LOS EGIPCIOS fueron los primeros en utilizar las razones trigonométricas para sus construcciones (si, así como os lo cuento😯. Hace aproximadamente, más de 3.000 años), de ahí que hoy sean un punto principal de esta entrada.

Concretamente, los egipcios tuvieron en cuenta la trigonometría para la INCLINACIÓN de las CARAS de las PIRÁMIDES. Por lo tanto, uno de los grandes problemas de construcción a resolver por los egipcios, era MANTENER UNA PENDIENTE UNIFORME en las 4 caras de una pirámide. 

Esto es lo que llevó a los egipcios a utilizar el término "seqt" a lo que hoy conocemos como pendiente. 

Papiro Rhind

Nota: Esto lo sabemos por el papiro encontrado con varias anotaciones matemáticas de la época egipcia, conocido como EL PAPIRO RHIND. Presenta 87 problemas con sus respectivas soluciones. 
Entre los existentes, encontramos el problema 56 que corresponde a la resolución de un problema sobre una pirámide en el que se pide la Seqt  (pendiente) resuelta por Ahmes. Según esos tiempos, se resolvió: 

- 1/2 de 360 que da 180.

- Multiplica 250 hasta obtener 180, obteniendo 1/2 + 1/5 +1/5 

Un cubit son 7 palmos (medida utilizada horizontalmente). Multiplica ahora 7 por 1/2+1/5+1/5 dando 5+1/25. 

Por lo tanto el seqt es 5+1/25 palmos por codo

Vamos a resolver ese problema en términos actuales 😎
como ya sabemos, la trigonometría siguió avanzando, descubriendo así nuevas formas de resolver lo que en este papiro se presenta. Sabiendo esto, pongamos en práctica lo que ya sabemos.

El problema lo que plantea es obtener el SEQT, es decir, lo que consideramos hoy como la PENDIENTE de una superficie plana inclinada. Para su resolución, plantea que la pirámide tiene 250 CUBITS (para que lo sepáis, son al rededor de unos 114.3 metros ) de altura y 360 CUBITS (164,592 metros)  de base.

(los cubits o"codo" eran las unidades de medida en el antiguo egipto).

¿Cuál será el valor de la pendiente de ésta pirámide, según se plantea en el Papiro de Rhind para que TODAS LAS CARAS DE LA PIRÁMIDE tuvieran la MISMA PENDIENTE y por tanto la PERFECCIÓN ARQUITECTÓNICA buscada?.  

Representación egipcia de lo que se pide medida en cubits.

Para facilitar la resolución del problema con la respectiva fórmula que nosotros utilizamos hoy en día, os aconsejo dejar la unidad de medida en cubits y no pasarla a metros aún hasta que tengamos el resultado final, ¿vale chicos?

Representación gráfica del triángulo rectángulo de la pirámide en CUBITS.
(el cateto adyacente será 180 puesto que solo necesitamos la mitad de toda la base que mide 360)

Además de esto, el ejercicio no nos proporciona la medida del ángulo α, por lo cual, de igual manera y para hallar solo aquello que hemos dado en clase, he obtenido el valor de α calculando el arco tangente.  

tgα= 250/180= 
α= arctg 250/180= 
α arctg 25/18 = 54,246º

El ángulo que desconocíamos hasta el momento será de 54,246º.👀👉

Nota: Para calcular el arcotangente, hemos pasado la tangente a arcotangente a través del =. A partir de ahí, se ha operado con los catetos que ya teníamos.

¡Ya casi lo tenemos! Ahora, solo tenemos que calcular el coseno de α. Para ello, vamos a tener en 

cuenta la fórmula, y... ¡a despejar! :

Fórmula que ya conocíamos

Fórmula aplicada al ejercicio

Cos 54,246= 180/ x

Cos 54,296º x = 180

x= 180/ cos 54,296º = 308 cubits

¡Bien chicos!, ya tenemos que la pendiente son de 308 cubits de altura... pero es raro que hoy en día hablemos de esa unidad de medida, ¿ no?

Como os había comentado, ahora lo pasaremos de CUBITS a METROS, para que así todo sea un poco más razonable. Para ello.. ya sabéis, ¡REGLA DE TRES! (Aunque tambien podemos usar la reducción a la unidad...):

Cubits                               Metros

                                                          1        ---------------------    0.46

                                                        308      ----------------------     x

308 × 0,46 / 1= 141,68 metros

¡Por fin lo tenemos!
 El resultado por tanto será que: la PENDIENTE de esta pirámide es de 141,68 metros. Esta pendiente, por tanto, fue la que se utilizó idénticamente en cada una de sus caras.

 Para lograr esto, debemos dar las gracias a la TRIGONOMETRÍA.

Tras las pirámides, consideradas unas de las obras arquitectónicas más perfectas , la trigonometría se siguió utilizando en las diferentes épocas y culturas (aunque no como la conocemos hoy...), creando obras magníficas como los templos en la Antigua Grecia, mezquítas o iglesias,  hasta llegar a nuestros días.

Llegados a este punto, veremos las estrategias seguidas por algunos arquitectos actuales para construir edificios o estructuras más seguras y precisas.

Para ello, hoy en día utilizan las FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS, ya que permiten al arquitecto calcular las distancias y las fuerzas relacionadas con elementos de la diagonal.

En los siguientes ejemplos podremos observar como las FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS  que menciono, son pasadas al PLANO CARTESIANO. Al hacer coincidir la estructura con la representación gráfica de una función, veremos que tipo se ha utilizado:

Teatro popular en Nitrôi

Según se puede observar en esta imagen, esta estructura se ha construido a partir de una FUNCIÓN DE SENO ya que la construcción  pasa por el eje cartesiano.

Siguiendo la misma táctica,  el Brigde of peace se encuentra edificada a partir de una FUNCIÓN DE COSENO. Traslada al plano cartesiano, observamos como el principio de la infraestructura pasa por el punto (0,1) del plano por lo que como ya se ha destacado, estaríamos frente una función de coseno.

Bridge of peace a partir de una Función de coseno

¡Qué diferencia de estrategias de construcción se ha  llevado a cabo a lo largo de la historia! Además, como hemos visto, la trigonometría juega un papel muy importante en ellas...

Por un lado la pirámides, aparentemente construcciones simples y toscas, pero que tras ellas, se esconden grandes enigmas matemáticos y trigonométricos como hemos visto y hecho hoy 👀✌.
Por otro lado, las grandes y complejas infraestructuras que se levantan hoy en día sobre nuestro suelo. Construcciones que como ya sabemos, se fundamentan en los tres elementos básicos de la trigonometría: SENO, COSENO Y TANGENTE. Tanto es así, que muchas de ellas son la mera representación funcional en un eje cartesiano. 😨😨

En estas últimas palabras, no debemos dejar a un lado la FÍSICA puesto que no solo la estabilidad de las construcciones se deben a la fuerza y a los complejos sistemas sino también al MATERIAL con el que se han edificado 👅.
Esta parte es tan importante como la otra, puesto que la dureza, la estabilidad, u otros aspectos son los que hacen que las obras arquitectónicas se soporten sobre el suelo

nota: las pirámides o los templos griegos hoy en día permanecen casi en su totalidad por el material, tan resistente, utilizado para él.

En la actualidad, la física en la arquitectura juega un papel decisivo, ya que cada vez se va innovando más en diseño (solo hay que ver el Bridge of pease o el Teatro de Nitrô) y para ello, hay que saber qué materiales son los adecuados para que esas estructuras sean seguras y duraderas.

Torre de Cristal (Madrid)

Por ejemplo: últimamente se está utilizando mucho el vidrio para las nuevas estructuras. Principalmente, esto se debe a que el vidrio contiene grandes propiedades energéticas (que se convierten un punto fuerte de ahorro) y por la resistencia que ofrece por la posición en la que se utiliza para la construcción (facilitan el trabajo a muchos arquitectos)

 Quién le diría a los egipcios que llegaríamos a esto...😂

¡Mirad ! 👀👉

BUENO π-TAGÓRICOS, YA HEMOS APRENDIDO UN POCO MÁS SOBRE LA TRIGONIOMETRÍA Y SU USO, EN ESTE CASO, EN LA ARQUITECTURA.

Espero que os haya gustado y que hayáis aprendido con esta y con todas las entradas del blog, yo desde luego sí 💃😜.

Ahora, solo queda las pruebas de evaluación, que si toda va tan bien como ahora, triunfaréis.

¡ÁNIMO! y nos vemos pronto.. 😉🙋

FUENTES CONSULTADAS: 

https://trigonometriaegipcia.wordpress.com/

https://prezi.com/kt91yltu9h_i/usos-de-la-trigonometria-en-la-arquitectura-desde-su-inicio/

https://prezi.com/dzthnzt6yrkx/como-usar-la-trigonometria-en-la-arquitectura/

http://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/papiro_rhind.htm

https://prezi.com/ofugwij9q1yf/arquitectura-y-la-fisica/

Aplicaciones de la trigonometría en las ciencias experimentales

¡Hola chicos!

Las investigaciones que estamos realizando están dando muy buenos resultados ✌. Algunos ya me comentásteis que no entendistéis bien en qué cosistía esta investigación y estuvimos viendo con ejemplos prácticos la trigonometría para que la entendiéseis un poquito mejor.

Seguro que esta entrada y la que publicaré a continuación os resulta de mucho interés ya que a parte de ayudar a los futuros profes, está relacionada con vuestro temario de Ciencias Sociales y Educación Plástica y Visual. Por tanto, muy atentos a ellas y cualquier duda, podéis preguntarnos 💁

Siguiendo la línea de esta investigación, continuaremos viendo las diferentes aplicaciones que tiene la trigonometría en la vida cotidiana, así como en las ciencias experimentales, ya que todas ellas tienen una relación tanto directa como indirecta con las matemáticas. De este modo, dejaremos de entender la trigonometría como algo abstracto y veremos lo imprescindible que es en la vida diaria.

Su uso más común lo encontramos en la física, ya que se puede aplicar a muchas ramas de ésta. La física estudia cómo es la materia, su movimiento, el tiempo, el espacio… La trigonometría la utilizamos para resolver muchos problemas relacionados con las alturas máximas de edificaciones (edificios, puentes…) distancias máximas entre dos objetos o personas….

Como bien ya sabemos, la trigonometría se basa en el estudio de las relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo, por tanto, estará también presente en las coordenadas polares (sistema de coordenadas situadas en un plano bidimensional en el que cada uno de los puntos viene determinado por una distancia y un ángulo)

Muchas veces, cuando estamos practicando algún deporte, la trigonometría está presente, por ejemplo, en el tiro con arco o lanzo de jabalina, en el que un objeto es lanzado de manera vertical u horizontal.

Relacionado con el movimiento físico de los objetos, podemos observar como esta rama matemática se encuentra también en muchas acciones cotidianas que requieren de movimiento, como es el caso del famoso juego "billar", en el que el movimiento de las bolas (en el que cada una sigue una dirección particular) crea unos ángulos específicos que determinan el siguiente golpe del jugador. 

En la astrología, también es muy común el uso de este ámbito matemático. Es utilizado, por ejemplo para analizar el movimiento de desplazamiento de los planetas y satélites así como para calcular las distancias entre los planetas, realizando una triangulación de los puntos que queremos medir  (tomar esos tres puntos como vértices de un triángulo)

Como dato curioso podemos destacar que fueron los egipcios los creadores del sistema de medida que posteriormente sería utilizado en la trigonometría astrológica.

Alejándonos de este ámbito y adentrándonos en el mundo de las nuevas tecnologías y las telecomunicaciones podemos encontrar multitud de aplicaciones. Todos conocemos que en la radio podemos encontrar dos frecuencias o modulaciones diferentes AM y FM. La trigonometría en esta ocasión tiene la función de medir la variación de la amplitud de la onda en función de la modulación en la que nos encontremos.

Hoy en día, ¿quién no juega videojuegos? En el desarrollo y procesamiento de videojuegos, también podemos encontrar la trigonometría, ya que permite la creación geométrica de los personajes, escenarios de juego... 

Otra de las principales aplicaciones de la trigonometría reside en la cartografía. Aunque resulte difícil visualizarlo, en todo el proceso que realizan los cartógrafos en el estudio del suelo para creación de mapas, se están aplicando fórmulas trigonométricas que permiten establecer las distancias entre las cotas altas, las pendientes del suelo, etc. ya que están interviniendo constantemente ángulos. El conocimiento de los elementos trigonométricos facilita enormememente la creación de mapas.

Relacionado con este ámbito, podemos observar que también utilizamos la trigonometría en la navegación marítima y aérea ya que son necesarios conocer algunos datos de depresión y elevación de la superficie. Actualmente los aparatos GPS se encargan de realizar estos cálculos trigonométricos de una manéra automática e instantánea.

No debemos de olvidarnos de una ciencia muy importante, la medicina, en la que también podemos encontrar la trigonometría.

Como bien hemos dicho anteriormente, la trigonometría nos permite analizar y medir las ondas y es por ello que nos permite la lectura e interpretación de los electrocardiogramas del corazón, de la misma manera que analizábamos la moduación de la señal de las ondas de la radio.

Uno de las aplicaciones más importantes sobre la trigonometría es la arquitectura (relacionada con la física). En este ámbito podemos encontrar multitud de aplicaciones de las fórmulas trigonométricas en la construcción de edificios, así como otros elementos decorativos (cúpulas, columnas...) Como veremos en la entrada siguiente, aprovechando además que nuestros alumnos han estudiado este tipo de elementos decorativos y construcciones en historia, dentro del área de Ciencias Sociales y en Educación Plástica y Visual.

En conclusión, aunque esta entrada habla sobre las principales y más destacadas aplicaciones de la trigonometría en la vida cotidiana y más concretamente en las ciencias experimentales, tan solo es una pequeña muestra de su uso. 

Esto nos demuestra una vez más, cómo conceptos matemáticos que a priori nos pueden resultar abstractos, tienen una aplicación y puesta en práctica en nuestro día a día, y como acabamos de comprobar, la trigonometría tiene gran trascendencia en nuestro mundo actual.😊


Fuentes consultadas:

https://www.lifeder.com/aplicaciones-trigonometria/

http://aplicacionestrigonometricaswithus.blogspot.com.es/2014/05/funciones-trigonometricas-aplicadas-en.html

https://prezi.com/ypw8fwnn6ts7/usos-de-la-trigonometria/

https://prezi.com/tgvwsht7zvxk/aplicacion-de-las-funciones-trigonometricas-en-la-cartografi/

https://prezi.com/xqhc83yaczr3/trigonometria-en-medicina/

http://danielwend.blogspot.com.es/

https://es.scribd.com/document/359898379/La-Trigonometria-en-La-Medicina

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN. ¿QUÉ ES LA TRIGONOMETRÍA?

¡Buenas tardes chic@s! 😉😉

Como os he contado hoy en clase, nuestras cuatro profesoras del departamento de Matemáticas de nuestro colegio van a participar en un proyecto de investigación llamado " Conceptos de trigonometría esenciales para un maestro en formación: aplicación en Ciencias experimentales"con el fin de explicar la trigonometría, sus principales usos y aplicaciones tanto en las ciencias como en un aula de primaria.
Las investigaciones irán siendo publicadas en este blog para que a parte de que sean vistas por los futuros profesores, vosotros como alumnos las echéis un ojo si estáis interesados, ya que habrá algunas de las entradas que estén relacionadas con el temario que estáis dando en otras materias y nunca está de más conocer un poquito más acerca de lo que ya sabemos sobre las matemáticas, ¿verdad?

¡Pues empecemos! 💪💪

Lo primero que debemos saber a la hora de trabajar con este ámbito de las matemáticas es  saber de donde proviene la palabra en cuestión, trigonometría. Esta extraña palabra, como muchos habéis dicho hoy en clase, proviene del griego y es una composición de tres palabras: “trigonom” que significa triángulo, “metron” que significa medida y, por último, de “tria” que significa tres. Por lo que atendiendo a su significado literal la trigonometría estudia la medida de los triángulos.

La trigonometría es una rama de las matemáticas la cual estudia la relación existente entre los ángulos y los lados de los triángulos. Esta rama se utiliza para áreas donde se requiere de una precisión. 

Las funciones trigonométricas se aplican a los triángulos rectángulos (aquellos que tienen un ángulo recto) y hay que saber que es la hipotenusa, el cateto opuesto y el cateto adyacente. Por lo que vamos a repasar que es esto:

La hipotenusa es el lado más largo del triángulo, y los catetos depende de que ángulo agudo escojamos como referencia, el cateto que se encuentre en el lado contrario al ángulo escogido se llamará cateto opuesto y el que este junto al ángulo se llamará cateto adyacente.

Por un lado, tenemos las razones trigonométricas, donde otra vez habéis vuelto a decir que los nombres son muy raros, que son:

• ·       Seno, cuya anotación matemática es sin y consiste en calcular la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
• ·       Coseno, cuya anotación matemática es cos y consiste en calcular la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
• ·       Tangente, cuya anotación matemática es tan y consiste en calcular la razón entre los dos catetos, el opuesto y el adyacente.

Por otro lado, tenemos las razones trigonométricas recíprocas, las cuales son:

• ·       Cosecante, cuya anotación matemática es csc y consiste en la razón recíproca del seno.
• ·       Secante, cuya anotación matemática es sec y consiste en la razón recíproca del coseno.
• ·       Cotangente, cuya anotación científica es cot y consiste en la razón recíproca de la tangente.
• 
  

Ahora, os estaréis preguntando a qué me refiero con la razón recíproca ¿no? 😮 Pues es tan sencillo como voltear la razón, es decir, si en el seno tenemos la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, la cosecante será la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

Veamos está teoría en el siguiente ejercicio. Hallar las razones trigonométricas y las razones trigonométricas recíprocas del ángulo B del siguiente triángulo:

¡Precaución! ¡Problemas a la vista!

¡Buenas tardes chic@s!  😀😀

Como ya queda poquito para la prueba de evaluación (ESTUDIAAAD POR FAVOR) quiero hacer una entrada con posibles problemas a la hora de trabajar los ejes para que no los cometáis en el examen. Poned mucha atención y sobre todo repasad con muchos ejercicios para que en la prueba de evaluación no tengáis ningún tipo de duda y para que no os quedéis sin tiempo .

¡COMENCEMOS!

    1 Uno de los fallos más cometidos en los ejercicios es cuando se os da una gráfica y tenéis que nombrar un punto. Recordad que el eje horizontal, llamado eje de abscisas, es el primer valor del punto y el eje vertical, llamado eje de ordenadas, es el segundo valor del punto (3,2).

2 Otra cosa que suelo observar en la que caéis mucho es al realizar lo contrario del caso anterior: cuando os dan un determinado punto y lo tenéis que representar en la gráfica, muchos de vosotros lo que hacéis es darle la vuelta al punto que tenéis que representar, es decir, si os piden representar el punto (1,2),  el punto que ponéis en la gráfica es (2,1). Por ejemplo:

Representa en el gráfico el punto A (3,4)

Como podéis observar en la primera imagen el punto está mal representado ya que corresponde al punto (4,3). En cambio, en la segunda imagen el punto está bien representado debido a que en el eje de abscisas se ha recorrido tres puntos hacia la derecha y luego ha recorrido cuatro puntos hacia arriba correspondiendo al eje de ordenadas.

3 Otro posible problema que se os puede presentar, se encuentra en los gráficos discontinuos, ¡cuidado 👂!
Mediante un ejemplo veremos los posibles puntos donde podéis tener dificultades.

Una asociación quiere comprar camisetas con su logotipo, pero solo pueden comprar camisetas de cinco en cinco. El precio variará según el nº de camisetas que se compren y está reflejado en la siguiente tabla:

Una de las preguntas que os pueden realizar para ver si estáis atentos al problema planteado es preguntaros cuánto pagarán por 6 camisetas. La respuesta a esta pregunta es que no se pueden comprar 6 camisetas ya que solo se pueden comprar de cinco en cinco.
Relacionado con esto, también se os puede preguntar el porqué no se unen los puntos del gráfico y la respuesta correspondiente a esto es que el gráfico no es constante y porque los datos que deben ir en el eje de abscisas tienen que ser múltiplos de cinco y por tanto, como no hay números intermedios no se pueden unir.
4 Finalmente, también observo que cuando os dan una gráfica y se os presenta una serie de funciones para identificar que función corresponde a cada gráfica, no lo tenéis muy claro. 
A continuación os voy a dar una serie de consejos para que podáis realizar este tipo de ejercicios con más rapidez.

En el caso que tengáis una función parecida, lo primero que debéis hacer es observar las opciones que os dan y en el caso de que tengáis funciones cuadráticas, como por ejemplo x^2+5, las deberéis descartar ya que el gráfico de estas son parábolas.

 A continuación, deberéis realizar una tabulación con diferentes valores para obtener la función correcta. Como consejo, os digo que lo mejor es comenzar con el valor 0 y después hacerlo con valores significantes en los que sea fácil su identificación.      

                                                                                                                                          

En este caso, deberéis descartar todas las opciones ya que si existe algún trazo vertical que corte en dos puntos diferentes como en el ejemplo, no se tratará de una función.

Representación gráfica de una función

¡Muy buenas tardes π-itagóricos!

Os traigo una sorpresa bastante interesante relacionada con este... ¡super tema! como os he anticipado hoy en clase 👏🙆.

Como ya sabéis, estos días le estamos dando vueltas a las funciones (identificando el tipo; cuáles son, cuáles no... ¡nos tienen ya locos 😪!) y sus diferentes formas de representación.

Pues chic@s, hoy en nuestro blog veremos al detalle... ¡la REPRESENTACIÓN GRÁFICA! Para ello... ¿sabéis que? he elaborado una gráfica sobre el TIEMPO y la DISTANCIA que recorrimos con el autocar en la excursión del lunes 9 de abril al Parque del Buen Retiro en Madrid. Os acordáis, ¿no?💃💃💃 ¡Ole qué ole!

Con esta gráfica nos resultará mas fácil comprender y representar los datos que vienen expuestos porque... ¡ya lo hemos vivido en primera persona! 😎

Creo que la explicación que voy a hacer a continuación, os ayudará a interpretar las que veremos posteriormente en clase y también de cara a la prueba de evaluación.

¡Vamos allá!

ANÁLISIS: GRÁFICA DE EXCURSIÓN AL RETIRO

Aquí podéis observar la función gráfica según el trayecto que hicimos con el autocar hasta el Retiro y sus correspondientes paradas. 

Debemos pensar en el recorrido que el hizo el autobús, y no ¡el nuestro sin él!

1 DESCRIPCIÓN DE EJES

En primer lugar, debemos fijarnos en los ejes ¿qué representa cada uno? ¿en qué escala se encuentra cada uno?

En esta gráfica vemos que el EJE DE ORDENADAS (y) representa la DISTANCIA recorrida en KILÓMETROS. A parte de esto, podemos observar que la distancia representada en el gráfico  encuentra dividida de 5 KILÓMETROS en 5 KILÓMETROS.

Por otro lado, vemos que en el EJE DE ABSCISAS (x) se encuentra el TIEMPO transcurrido representado en HORAS. En este caso, la división del tiempo en el eje transcurre de HORA en HORA.

EN ESE CASO, por tanto, VEREMOS QUE LA RELACIÓN DE LOS PUNTOS SERÁ:

 EL TIEMPO TRANSCURRIDO - DISTANCIA RECORRIDA.

Ahora comenzaremos a interpretar los datos contenidos en la gráfica:

2 DURACIÓN DE LA EXCURSIÓN

Para poder señalar cuánto tiempo ha durado la excursión, debemos fijarnos en el eje de abscisas y comprobar que en total, la excursión ha durado 9 HORAS. Estas nueve horas se cuentan desde que hemos salido del colegio  en autocar a las 9:00  (gráficamente esto representa el punto 0,0) hasta nuevamente llegar al colegio a las 18:05 tras la excursión (punto 9,0). 

3 DIVISIÓN y ANÁLISIS COMPLETO DEL TIEMPO

En el transcurso de esas 9 horas de excursión ocurrieron varias cosas, como podemos apreciar (y recordar jeje 😄). Veamos cuáles son:

En primer lugar, sabemos que el viaje hasta el Parque del Buen Retiro partiendo desde nuestro colegio, fue de 23 KILÓMETROS y tardamos 1 HORA DE TRAYECTO (¡acordaros que tráfico hubo de por medio en la carretera!). Esto lo sabemos porque el trayecto del trazo es ascendente, avanzando en el tiempo de las abscisas (marcando el tiempo total de 1 hora) hasta llegar, a su vez, a un punto en concreto en el eje de ordenadas (marcando 23 km). 👀👇

Trayecto ascendente hasta un punto

Una vez que llegamos a nuestro destino, almorzamos a las 10:00 y nos pusimos manos a la obra con la tarea de orientación en el parque, que nos llevó bastante tiempo. Durante este tiempo, nuestro autocar estuvo esperando, por lo que no avanzó en distancia pero si en tiempo, concretamente 5 horas ¿cómo sabemos esto? si os fijáis, el trayecto en este caso es horizontal y lineal marcando el mismo punto en el eje de ordenadas. Sin embargo,  en el eje de abscisas hay varios puntos (por lo tanto el tiempo ha seguido transcurriendo a pesar de no avanzar en distancia. Esto indica que está PARADO).

Tiempo de espera del autocar durante la actividad (5 horas )

Tras la actividad, volvimos a coger el autobús para ir a comer a un establecimiento. Para ello, el autobús recorrió 5 KILÓMETROS *

                                                                *Nota: para obtener el calculo de los 5 km debéis contar los cuadrados que se   encuentran entre los kilómetros señalados. Cada cuadrado representará por tanto 1 kilómetro.

 tardando 12 MINUTOS* según muestra la gráfica.

                                                                      *Nota: al igual que en la anterior operación, deberemos saber cuánto equivale cada cuadrado. En este caso debemos dividir 60 minutos que tiene una hora entre 5 cuadrados, dando 12 minutos. 

. Vamos a echarle un ojo:

Trayecto para ir a comer (12 minutos en 5 km)

Nuevamente hicimos esperar al autocar, ya que tuvimos que comer. En este caso, la espera fue de 1 HORA Y 48 MINUTOS (sabiendo que tenemos que restar esos 12 minutos que tardamos en ir desde el parque hasta el establecimiento).

Tiempo de espera de la comida (1hora y 48 min)

Una vez que terminamos de comer, volvimos a ponernos en marcha, y en este caso, para volver al colegio. En este caso por tanto, debemos tener en cuenta que el tiempo empleado para volver a casa fue de 1 HORA Y 5 MINUTOS ¿Qué ocurrió?, bueno como ya sabéis, una de vuestras compañeras de clase se mareó un poco y tuvimos que hacer una parada de 5 MINUTOS (como ya sabemos, si un cuadrado de la gráfica equivale a 12 minutos, proporcionalmente ese trazo representa 5 minutos), aquí la podéis ver:

Tiempo de espera por urgencia en el viaje (5 minutos)

Por esta razón, llegamos al colegio 5 minutos más tarde de lo previsto.


Bueno chicos, creo que se puede decir más alto pero no mas claro.. ¡Vaya charla os he metido hoy 😬!, ¿verdad? pero lo importante es que os haya quedado claro. Veréis que una vez controléis esto, sabréis utilizar cualquier representación de las que ya hemos visto en clase (tabular, verbal...). ENTENDER y SABER REPRESENTAR UNA GRÁFICA, es fundamental para poder responder a las preguntas que se haga sobre ella 💭.

Espero que os haya servido esta "mini explicación" y que el hecho de ser algo que habéis vivido, os haya ayudado mucho más a su comprensión.

Para el próximo día me gustaría que pensarais la respuestas de las siguientes preguntas:

- ¿Cuánto tiempo en total estuvo el autocar parado?

 y 

¿en movimiento?

Observar bien la gráfica para no equivocaros 🙏👀 . El lunes lo comentamos.

¡QUE PASÉIS TODOS UN BUEN FIN DE SEMANA!

Tipos de representaciones

¡Hola chicos!

Hoy nos toca conocer un poco más sobre este tema. En esta ocasión aprenderemos los diferentes tipos de representaciones de funciones que existen: tabular, gráfica, verbal y simbólica.

¿Por qué es importante conocer las diferentes formas de representación? 

Conocer los diferentes tipos de representaciones de funciones que existen  nos ayuda a entender mejor el concepto de función, de sus usos, sus características. En resumen, nos facilita la comprensión de las funciones.

A continuación veremos detenidamente cada uno de los tipos de representación que hemos aprendido en clase (recordad que la representación simbólica no la llevaremos a cabo hasta cursos más superiores, pero nunca está de más conocer que hay otro estilo más de representación 👍) y veremos ejemplos para que las entendáis mejor.

❕Un dato muy importante sobre los sistemas de representación es que no hay que entenderlos solo de manera aislada, es decir, están relacionados entre ellos. Esto quiere decir que podemos, por ejemplo, pasar del sistema de tabulación al sistema gráfico o verbal y viceversa.

¿Estáis preparados?💁

REPRESENTACIÓN TABULAR

Como bien dice la palabra, los datos de la función se representan en una tabla. 

Esta tabla puede estar dispuesta en forma de columnas:

O en forma de filas:

En ambos casos, en una de las columnas o las filas tendremos un valor del eje x (abcisas) que se corresponderá con un valor del eje y (ordenadas) situado en la otra fila o columna.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

¿Os acordáis del sistema de coordenadas cartesianas? Pues esta forma de representación se realiza de la misma forma. Tendremos unos datos, los cuales nos indicarán si pertenecen al eje x o al eje y, y nosotros debemos de representarlos de la misma forma en la que lo hacíamos como por ejemplo, al juego hundir la flota. 

De ahí la importancia de tener siempre presente (x , y) tal y como os dije

REPRESENTACIÓN VERBAL

En este tipo de representación no tendremos que construir o analizar una tabla, ni tampoco tendremos que representar unas coordenadas. En esta ocasión tendremos que describir con palabras la función de la manera más detallada posible, de tal modo que cualquier otra persona sea capaz de entender cómo es la función a la que nos referimos. 

Es muy importante describir con todo detalle todos sus elementos: cómo es esa función, cómo son sus ejes, cómo son sus puntos, unidades (horas, metros, kilómetros, minutos...) etc. para la total comprensión de la función.

En el eje de abcisas se representa en tiempo en horas que tarda un coche en recorrer una determinada distancia. En el eje de ordenadas se representa la distancia en km. En una hora, el vehículo ha recorrido 60 km, en dos horas, el coche ha recorrido 120 km; en 2,5 horas el coche ha recorrido 150 km; en 3h el coche ha recorrido la distancia de 180 km y por último, en 3,5 horas se aprecia que el coche ha recorrido 210 km. Con esto podemos observar que el coche lleva una velocidad constante de 60 km/h (kilómetros por hora)

Los tres tipos que hemos visto, son maneras diferentes de representar los mismos datos, y sus relaciones son iguales, sin variar en función del tipo de representación al que acudamos.

¡Nos vemos en clase chicos 😍!